Modified homotopy perturbation method and its application to analytical solitons of fractional-order Korteweg–de Vries equation

Alaje, Adedapo Ismaila; Olayiwola, Morufu Oyedunsi; Adedokun, Kamilu Adewale; Adedeji, Joseph Adeleke; Oladapo, Asimiyu Olamilekan

doi:10.1186/s43088-022-00317-w

Beni-Suef University Journal of Basic and Applied Sciences

Table 1 Numerical results of problem one at an exact value \(\alpha = 1\)

From: Modified homotopy perturbation method and its application to analytical solitons of fractional-order Korteweg–de Vries equation

\(t\)	Value of (x)	Numerical solution	Exact solution	Abs error
\(t = 0\)	0	− 0.16667	− 0.16667	0
	0.1	− 0.1583333334	− 0.1583333333	\(1 \times 10^{ - 10}\)
	0.2	− 0.1500000000	− 0.1500000000	0
	0.3	− 0.1416666667	− 0.1416666667	0
	0.4	− 0.1333333334	− 0.1333333333	\(1 \times 10^{ - 10}\)
	0.5	− 0.1250000000	− 0.1250000000	0
\(t = 0.2\)	0	− 0.1851833335	− 0.1851851852	0.0000018517
	0.1	− 0.1759241666	− 0.1759259259	0.0000017593
	0.2	− 0.1666650000	− 0.1666666667	0.0000016667
	0.3	− 0.1574058335	− 0.1574074074	0.0000015739
	0.4	− 0.1481466666	− 0.1481481481	0.0000014815
	0.5	− 0.1388875000	− 0.1388888889	0.0000013889
\(t = 0.4\)	0	− 0.2082666667	− 0.2083333334	0.0000666667
	0.1	− 0.1978533334	− 0.1979166667	0.0000633333
	0.2	− 0.1874400000	− 0.1875000001	0.0000600001
	0.3	− 0.1770266667	− 0.1770833334	0.0000566667
	0.4	− 0.1666133334	− 0.1666666667	0.0000533333
	0.5	− 0.1562000000	− 0.1562500000	0.0000500000
\(t = 0.6\)	0	− 0.2375166667	− 0.2380952380	0.0005785713
	0.1	− 0.2256408334	− 0.2261904761	0.0005496427
	0.2	− 0.2137650000	− 0.2142857142	0.0005207142
	0.3	− 0.2018891667	− 0.2023809523	0.0004917856
	0.4	− 0.1900133334	− 0.1904761904	0. 0,004,628,570
	0.5	− 0.1781375000	− 0.1785714285	0.0004339285
\(t = 0.8\)	0	− 0.2749333335	− 0.2777777778	0.0028444443
	0.1	− 0.2611866666	− 0.2638888889	0.0027022223
	0.2	− 0.2474400000	− 0.2500000000	0.0025600000
	0.3	− 0.2336933335	− 0.2361111111	0.0024177776
	0.4	− 0.2199466666	− 0.2222222222	0.0022755556
	0.5	− 0.2062000000	− 0.2083333334	0.0021333334
\(t = 1.0\)	0	− 0.3229166667	− 0.3333333334	0.0104166667
	0.1	− 0.3067708334	− 0.3166666667	0.0098958333
	0.2	− 0.2906250000	− 0.3000000001	0.0093750001
	0.3	− 0.2744791667	− 0.2833333334	0.0088541667
	0.4	− 0.2583333334	− 0.2666666667	0.0083333333
	0.5	− 0.2421875000	− 0.2500000000	0.0078125000
\(t = 1.2\)	0	− 0.3842666667	− 0.4166666666	0.0323999999
	0.1	− 0.3650533334	− 0.3958333333	0.0307799999
	0.2	− 0.3458400000	− 0.3749999999	0.0291599999
	0.3	− 0.3266266667	− 0.3541666666	0.0275399999
	0.4	− 0.3074133334	− 0.3333333333	0.0259199999
	0.5	− 0.2882000000	− 0.3125000000	0.0243000000
\(t = 1.4\)	0	− 0.4621833335	− 0.5555555556	0.0933722221
	0.1	− 0.4390741666	− 0.5277777778	0.0887036112
	0.2	− 0.4159650000	− 0.5000000000	0.0840350000
	0.3	− 0.3928558335	− 0.4722222223	0.0793663888
	0.4	− 0.3697466666	− 0.4444444445	0.0746977779
	0.5	− 0.3466375000	− 0.4166666667	0.0700291667
\(t = 1.6\)	0	− 0.5602666667	− 0.8333333334	0.2730666667
	0.1	− 0.5322533334	− 0.7916666667	0.2594133333
	0.2	− 0.5042400000	− 0.7500000001	0.2457600001
	0.3	− 0.4762266667	− 0.7083333334	0.2321066667
	0.4	− 0.4482133334	− 0.6666666667	0.2184533333
	0.5	− 0.4202000000	− 0.6250000000	0.2048000000
\(t = 1.8\)	0	− 0.6825166667	− 1.666666667	0.9841500003
	0.1	− 0.6483908334	− 1.583333333	0.9349424996
	0.2	− 0.6142650000	− 1.500000000	0.8857350000
	0.3	− 0.5801391667	− 1.416666667	0.8365275003
	0.4	− 0.5460133334	− 1.333333333	0.7873199996
	0.5	− 0.5118875000	− 1.250000000	0.7381125000

Table shows the approximate solution, exact solution, and absolute errors computed at a time-varying level of \(x\). We observed that the approximate result deviates from the exact solutions as the value increases. For example, the absolute error observed when \(t = 0\) is of order \(\times 10^{ - 10}\); at \(t = 1\) the absolute error is in order of \(\times 10^{ - 3}\) to \(\times 10^{ - 2}\); and at \(t = 1.8\) the absolute error is in order of \(\times 10^{ - 1}\).

Back to article page